Matemática de bachillerato
Funciones reales, trigonometría analítica, geometría analítica, matrices, determinantes y cálculo diferencial básico.
Funciones reales y gráficas
Dominio, rango, función afín, cuadrática, inversa y composición.
Dominio de funciones reales
Para determinar el dominio de una función real se analizan las restricciones algebraicas. En funciones racionales P(x)/Q(x), el denominador jamás puede ser cero (Q(x) ≠ 0). En funciones con raíces de índice par √(R(x)), la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero (R(x) ≥ 0). En funciones logarítmicas ln(S(x)), el argumento debe ser estrictamente positivo (S(x) > 0).
Ejercicio resuelto: Dominio con raíz en denominador
Enunciado: Determinar el dominio real de la función f(x) = 5 / √(2x - 6).
Paso 1: Identificar la restricción combinada. La expresión está dentro de una raíz cuadrada (exige ≥ 0) y a su vez en el denominador (exige ≠ 0). Por lo tanto, la condición es estrictamente mayor que cero: 2x - 6 > 0.
Paso 2: Despejar la inecuación: 2x > 6, lo que implica x > 3.
Resultado: El dominio es el intervalo abierto Dom(f) = (3, +∞).
Trigonometría analítica
Razones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones y teoremas de seno y coseno.
Leyes trigonométricas en triángulos oblicuángulos
Cuando un triángulo no tiene ángulo recto de 90 grados, no se pueden aplicar directamente las razones de seno y coseno simples. En su lugar se emplean la Ley de los Senos y la Ley de los Cosenos.
La Ley de los Senos establece que a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C). Se utiliza cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
La Ley de los Cosenos establece que a² = b² + c² - 2bc · cos(A). Se utiliza cuando se conocen los tres lados del triángulo, o dos lados y el ángulo formado entre ellos.
Ejercicio resuelto: Cálculo de lado con Ley de Cosenos
Enunciado: En un triángulo, dos lados miden b = 5 cm y c = 8 cm, y el ángulo entre ellos es A = 60°. Calcular la longitud del lado a.
Paso 1: Aplicar la fórmula: a² = 5² + 8² - 2(5)(8) · cos(60°).
Paso 2: Recordar que cos(60°) = 1/2. Sustituyendo: a² = 25 + 64 - 80 · (1/2) = 89 - 40 = 49.
Paso 3: Extraer raíz cuadrada: a = √49 = 7 cm.
Resultado: La longitud del lado desconocido es exactamente 7 cm.
Geometría analítica plana
Línea recta, pendiente, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
Matrices y determinantes
Operaciones matriciales, determinantes de segundo y tercer orden, y regla de Cramer.
Resolución de sistemas por la regla de Cramer
La regla de Cramer permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el cociente de determinantes. Para un sistema de dos variables (x e y), la solución existe y es única si el determinante de la matriz de coeficientes (Δ) es distinto de cero. En ese caso, x = Δx / Δ e y = Δy / Δ.
Introducción al cálculo
Noción de límites, indeterminaciones algebraicas y reglas básicas de derivación.